Going to higher dimensional space?

Bài blog hôm qua của bác Hưng về bài phỏng vấn về trí tưởng tượng và toán học rất thú vị. Có rất nhiều issues đáng nói mà hy vọng bác Hưng có thời gian khai thêm mào. Tôi rất thích rất nhiều câu trả lời của giáo sư Mazur, đặc biệt trước nhiều câu hỏi (có thể cố tình làm) naive. Ví dụ câu sau đây, khi được hỏi:

“What about considerations involving higher dimensions than the three of common spatial experience? Must we rely on analogies to that common world? To what extent would that be possible without, perhaps, deluding ourselves that we are really understanding those more complex spaces, not just squashing them to fit our limited senses?”

Câu hỏi thú vị ở nhiều khía cạnh, cả về triết lý và về toán học. Câu trả lời cũng hay và dài. Sau đây là một trích đoạn, mà tôi tâm đắc từ một khía cạnh khác (algorithmics!):

“One isn’t quite finished if I just give you a finite repertoire — a bag of tricks, so to speak, in the art of squashing — because at a point in onés development of these intuitions, one actually sees more than the mere sum of tricks. One realizes that there is a certain unexpected pliability of spatial intuitions that makes spaces of any dimension equally accessible — equally accessible, and in certain respects (and here’s a surprise) more easily accessible than lower-dimensional spaces. Topologists understand very well that for certain important work, higher dimensional spaces are simply easier than lower-dimensional spaces — therés more room to move around…”

Nếu bạn là một người design thuật toán, có rất nhiều ví dụ tại sao công việc của chúng ta sẽ dễ dàng hơn rất nhiều khi chuyển vấn đề sang không gian nhiều chiều hơn. Vài ví dụ: neural network algorithms (with hidden layers), graphical models (with hidden variables, còn gọi là latent variables trong thống kê), thuật toán dựa trên (higher dimensional) reproducing kernel Hilbert spaces, v.v.

Additional dimensions cho chúng ta nhiều rooms để hiểu, giải thích vấn đề và thậm chí tìm ra các solutions ở đó. Nhiều thứ khi project ngược về lower-dimension trở nên rất khó hiểu, trở thành dạng “không mẫu mực” như đánh đố.

Một ví dụ điển hình khác là sự khác biệt giữa toán “sơ cấp” vs. toán cao cấp hơn.
Nhưng cái này thì có lẽ ai cũng biết…

Tôi thấy rất có lợi cho các graduate students của KHMT nên biết thêm về toán cao cấp, ít nhất là một số khía cạnh của chúng (ví dụ, các khái niệm cơ bản về abstract algebra, topology, measure theory). Đấy chính là một cách mở rộng cái knowledge/educational background space của chính mình lên higher dimensional space. Nó sẽ giúp ích bạn lâu dài trong công việc, và đôi khi cũng gây ấn tượng tốt với những đồng nghiệp trong KHMT đang sống ở 2-dimensional plane ?